Montag, 10. August 2009

You call it 'super', makes you feel strong

Damit hier nicht der Eindruck entsteht, ich würde gar nichts Sinnvolles machen, hier eine kurze Zusammenfassung meines vorraussichtlich nächsten Forschungsprojektes in Golm. (Für alle, die keine Lust haben, sowas zu lesen, habe ich die 'Labels' eingeführt.)

Beim kanonischen Zugang zur Quantengravitation geht man im Wesentlichen so vor wie bei einem Teilchen im harmonischen Oszillator: Man geht von der Lagrange- zur Hamilton-Funktion über, indem man die kanonisch konjugierten Impulse identifiziert. Dazu muss man die Raumzeit in 'Zeit' und 'Raum' aufteilen. (Genauer: Im einfachsten Fall nimmt man an, dass sich die Raumzeit topologisch als Produkt einer [kompakten] 3-Mannigfaltigkeit S mit der reellen Achse schreiben lässt, und wählt dann entsprechende Koordinaten.)

Traditionell nimmt man die Metrik als primäre Variable der ART, man kann dann die 3-dimensionale Metrik auf S als Variable nehmen und die konjugierten Impulse sind im Wesentlichen die Komponenten der extrinsischen(?) Krümmung, die die Einbettung von S in die Raumzeit beschreibt.
Der entscheidende Punkt ist hier nur, dass die Hamilton-Funktion nur aus Zwangsbedingungen besteht, genauer aus einer Summe von Lagrange-Multiplikatoren multipliziert mit Zwangsbedingungen. Sind die Zwangsbedingungen also erfüllt, ist die Hamilton-Funktion Null. Das liegt daran, dass es keine 'Zeitentwicklung' im klassischen Sinne gibt, da man einer Raumzeit keine externe Zeit zuordnen kann - es gibt ja nichts außerhalb der Raumzeit, das diese Zeit bestimmen würde.
Die Theorie der Quantisierung solcher Systeme wurde von Paul Dirac entwickelt (belated happy birthday, Paul!)

Wenn man jetzt kanonisch quantisiert, werden die Impulse zu Funktionalableitungen nach den Komponenten der 3-Metrik (völlig analog zu p=-i d/dx) und es wird gefordert, dass "Wellenfunktionen" die Zwangsbedingungen erfüllen. Das führt zur Wheeler-deWitt-Gleichung H Psi=0.
Da die Freiheitsgrade in dem System die Komponenten der Metrik an jedem Punkt von S sind, ist Psi ein Funktional, das von den Funktionen h_{ij}(x) abhängt, oder anders ausgedrückt eine Funktion auf dem (unendlich-dimensionalen) Raum aller 3-Metriken auf S. Dieser wird als Superraum bezeichnet. Die Erkenntnis, dass dieser Superraum die Arena der Quantengravitation darstellt, geht auf Wheeler zurück (Igor fragen).

Heutzutage benutzt man nicht mehr die Metrik, sondern direkt den Zusammenhang und ein 'Vierbein', eine Art Quadratwurzel der Metrik, als fundamentale Variablen. Das ist erstens mathematisch eleganter (für Mathematiker: Man hat dann einen Zusammenhang auf einem Faserbündel der Lorentzgruppe), außerdem braucht man diesen Formalismus, um Fermionen zu koppeln, aus denen die Welt nun mal besteht.
Man kann völlig analog die Hamilton-Funktion in diesen Variablen aufstellen. Der Superraum ist dann der Raum aller Zusammenhänge in S.

Ich werde mich damit beschäftigen, was man über die Geometrie und Struktur dieses neuen Superraums sagen kann und wie seine Symmetrien mögliche Feldtheorien in diesem Raum einschränken. Für die interessiert man sich im Rahmen der 3. Quantisierung, aber darüber schreibe ich jetzt erstmal nichts, da die Anzahl meiner Leser bestimmt bereits auf 0 gesunken ist.

Falls doch jemand gelesen hat und was kommentieren will, nur zu.

2 Kommentare:

Der Zotzobotz hat gesagt…

Und was hat das jetzt mit dem Hertzschen Dipol zu tun?

Anonym hat gesagt…

habs gelesen und damit deine theorie widerlegt!